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Was ist Unendlichkeit?

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Albert Einstein sagte bekanntlich: „Zwei Dinge sind unendlich: das Universum und die menschliche Dummheit. Und beim Universum bin ich mir nicht sicher.“

Der Begriff der Unendlichkeit wurde im Laufe der Jahrhunderte von den größten Köpfen nachgedacht, von Aristoteles bis zum deutschen Mathematiker Georg Cantor. Für die meisten Menschen ist es heute etwas, das nie endet oder keine Grenzen kennt. Aber wenn Sie wirklich darüber nachdenken, was das bedeutet, könnte es Sie umhauen. Ist Unendlichkeit nur ein abstraktes Konzept? Oder kann es in der realen Welt existieren?

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Die Unendlichkeit ist fest in der Mathematik verwurzelt. Aber laut Justin Moore, einem Mathematikforscher an der Cornell University in Ithaca, New York, gibt es sogar innerhalb dieses Fachgebiets leicht unterschiedliche Verwendungen des Wortes. „Sie wird oft als eine Art virtuelle Nummer am Ende der reellen Zahlenreihe bezeichnet“, erzählt er Trini Radio. „Oder es kann etwas bedeuten, das zu groß ist, um mit einer ganzen Zahl gezählt zu werden.“

Es gibt auch nicht nur eine Art von Unendlichkeit. Zählen stellt beispielsweise eine Art von Unendlichkeit dar, die unbegrenzt ist – die sogenannte potenzielle Unendlichkeit. Theoretisch können Sie ewig weiterzählen, ohne jemals eine größte Zahl zu erreichen. Unendlich kann jedoch auch begrenzt werden, wie zum Beispiel das Unendlichkeitssymbol. Sie können ihn unbegrenzt oft umrunden, aber Sie müssen seiner Kontur – oder Begrenzung – folgen.

Alle Unendlichkeiten können auch nicht gleich sein. Ende des 19. Jahrhunderts bewies Cantor kontrovers, dass einige Zählzahlensammlungen größer sind als die Zählzahlen selbst. Da die Zählzahlen bereits unendlich sind, bedeutet dies, dass einige Unendlichkeiten größer sind als andere. Er zeigte auch, dass einige Arten von Unendlichkeiten unzählbar sein können, im Gegensatz zu Sammlungen wie dem Zählen von Zahlen.

„Damals war es schockierend – eine echte Überraschung“, sagt Oystein Linnebo, der an der Universität Oslo Philosophien der Logik und Mathematik erforscht, gegenüber Trini Radio. 'Aber im Laufe einiger Jahrzehnte wurde es in die Mathematik aufgenommen.'

Ohne Unendlichkeit würden viele mathematische Konzepte auseinanderfallen. Die berühmte mathematische Konstante pi zum Beispiel, die für viele Formeln zur Geometrie von Kreisen, Kugeln und Ellipsen wesentlich ist, ist untrennbar mit der Unendlichkeit verbunden. Als irrationale Zahl – eine Zahl, die nicht einfach durch einen Bruch ausgedrückt werden kann – besteht sie aus einer endlosen Folge von Dezimalzahlen.



Und wenn es die Unendlichkeit nicht gäbe, würde es bedeuten, dass es eine größte Zahl gibt. „Das wäre ein absolutes No-Go“, sagt Linnebo. Jede Zahl kann verwendet werden, um eine noch größere Zahl zu finden, also würde es einfach nicht funktionieren, sagt er.

KANN MAN DAS UNMESSBARE MESSEN?

In der realen Welt muss die Unendlichkeit jedoch noch festgelegt werden. Vielleicht haben Sie unendliche Reflexionen in einem Paar paralleler Spiegel auf gegenüberliegenden Seiten eines Raumes gesehen. Aber das ist ein optischer Effekt – die Objekte selbst sind natürlich nicht unendlich. „Ob es in der realen Welt unendlich viele gibt, ist höchst umstritten und fragwürdig“, sagt Linnebo. 'Unendlich wurde noch nie gemessen.'

Der Versuch, die Unendlichkeit zu messen, um zu beweisen, dass sie existiert, könnte an sich eine vergebliche Aufgabe sein. Die Messung impliziert eine endliche Größe, daher wäre das Ergebnis das Fehlen einer konkreten Größe. „Der Messwert würde nicht auf der Skala liegen, und das ist alles, was Sie sagen könnten“, sagt Linnebo.

Die Jagd nach der Unendlichkeit in der realen Welt hat sich oft dem Universum zugewandt – der größten realen Sache, die wir kennen. Es gibt jedoch keinen Beweis dafür, ob es unendlich oder nur sehr groß ist. Einstein schlug vor, dass das Universum endlich, aber unbegrenzt ist – eine Art Kreuzung zwischen beiden. Er beschrieb es als eine Variation einer Sphäre, die man sich nicht vorstellen kann.

Wir neigen dazu, Unendlichkeit als groß zu betrachten, aber einige Mathematiker haben versucht, das unendlich Kleine zu finden. Theoretisch sollten Sie, wenn Sie ein Segment zwischen zwei Punkten auf einer Linie nehmen, es auf unbestimmte Zeit immer wieder in zwei Teile teilen können. (Dies ist das Xeno-Paradoxon, das als Dichotomie bekannt ist.) Aber wenn Sie versuchen, dieselbe Logik auf die Materie anzuwenden, stoßen Sie auf eine Straßensperre. Sie können Objekte der realen Welt in immer kleinere Stücke zerlegen, bis Sie Atome und ihre Elementarteilchen wie Elektronen und die Komponenten von Protonen und Neutronen erreichen. Nach heutigem Kenntnisstand können subatomare Teilchen nicht weiter zerlegt werden.

DIE UNENDLICHKEITEN DER SINGULARITÄT

Schwarze Löcher sind vielleicht das nächste, was wir in der realen Welt der Unendlichkeit nahe gekommen sind. Im Zentrum eines Schwarzen Lochs ist ein Punkt, der als Singularität bezeichnet wird, ein eindimensionaler Punkt, von dem angenommen wird, dass er eine riesige Masse enthält. Physiker vermuten, dass an diesem bizarren Ort einige der Eigenschaften der Singularität unendlich sind, wie beispielsweise Dichte und Krümmung.

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Bei der Singularität funktionieren die meisten Gesetze der Physik nicht mehr, weil diese unendlichen Größen viele Gleichungen 'brechen'. Raum und Zeit zum Beispiel sind keine zwei getrennten Einheiten mehr und scheinen zu verschmelzen.

Laut Linnebo sind Schwarze Löcher jedoch weit davon entfernt, ein Beispiel für eine greifbare Unendlichkeit zu sein. 'Mein Eindruck ist, dass die Mehrheit der Physiker sagen würde, dass unsere Theorie hier zusammenbricht', sagt er. 'Wenn Sie eine unendliche Krümmung oder Dichte erreichen, befinden Sie sich außerhalb des Bereichs, in dem die Theorie gilt.'

Daher sind möglicherweise neue Theorien erforderlich, um diesen Ort zu beschreiben, der das, was in der physischen Welt möglich ist, zu überschreiten scheint.

Vorerst bleibt die Unendlichkeit im Reich des Abstrakten. Der menschliche Verstand scheint das Konzept geschaffen zu haben, aber können wir uns überhaupt vorstellen, wie es aussieht? Um es sich wirklich vorstellen zu können, müsste unser Geist vielleicht auch unendlich sein.